中小学数学网

当前位置: 首页 > 智能数学 > 数学解题思维

数学思维能力的培养

时间:2020-10-02 16:03:27来源: 作者: 点击:

  我国初、高中数学教学大纲中都明确指出,思维能力主要是指:会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括;会用归纳、演绎和类比进行推理;会合乎逻辑地
       
  我国初、高中数学教学大纲中都明确指出,思维能力主要是指:会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括;会用归纳、演绎和类比进行推理;会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点;能运用数学概念、思想和方法,辨明数学关系,形成良好的思维品质。我们认为,大纲中对思维能力的这一阐述是准确的、科学的,反映了心理学对思维能力研究的最新成果,对我国当前的数学教学具有重要的指导意义。
  
  那么,在数学课堂教学中应当如何贯彻教学大纲的思想,更加有效地培养学生的数学思维能力呢?以下我们从发展心理学、教育心理学的角度谈谈看法。
  
  一、数学概括能力的培养
  
  数学教学中,应当强调数学的“过程”与“结果”的平衡,要让学生经历数学结论的获得过程,而不是只注意数学活动的结果。这里,“经历数学结论的获得过程”的含义是什么呢?我们认为,其实质是要让学生有机会通过自己的概括活动,去探究和发现数学的规律。
  
  概括是思维的基础。学习和研究数学,能否获得正确的抽象结论,完全取决于概括的过程和概括的水平。数学的概括是一个从具体向抽象、初级向高级发展的过程,概括是有层次的、逐步深入的。随着概括水平的提高,学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。数学教学中,教师应根据学生思维发展水平和概念的发展过程,及时向学生提出高一级的概括任务,以逐步发展学生的概括能力。
  
  在数学概念、原理的教学中,教师应创设教学情境,为学生提供具有典型性的、数量适当的具体材料,并要给学生的概括活动提供适当的台阶,做好恰当的铺垫,以引导学生猜想、发现并归纳出抽象结论。这里,教师铺设的台阶是否适当,主要看它是否能让学生处于一种“似懂非懂”、“似会非会”、“半生不熟”的状态。猜想实际上是在新旧知识相互作用的过程中,学生对新知识的尝试性掌握。教师设计教学情境时,首先,应当在分析新旧知识间的本质联系与区别的基础上,紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的,安排猜想过程,促使学生发现内在规律;其次,应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系,并确定同化(顺应)模式,从而确定猜想的主要内容;再次,要尽量设计多种启发路线,在关键步骤上放手让学生猜想,使学生的思维真正经历概括过程。
  
  概括的过程具有螺旋上升、逐步抽象的特点。在学生通过概括获得初步结论后,教师应当引导学生把概括的结论具体化。这是一个应用新获得的知识去解决问题的过程,是对新知识进行正面强化的过程。在这个过程中,学生的认知结构与新结论之间的适应与不适应之间的矛盾最容易暴露,也最容易引起学生形成适应的刺激。
  
  在概括过程中,要重视变式训练的作用,通过变式,使学生达到对新知识认识的全面性;还要重视反思、系统化的作用,通过反思,引导学生回顾数学结论概括的整个思维过程,检查得失,从而加深对数学原理、通性通法的认识;通过系统化,使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系,并概括出带有普遍性的规律,从而推动同化、顺应的深入。
  
  数学的表现方式是形式化的逻辑体系,数学理论的最后确立依赖于根据假定进行抽象概括的能力。因此,教师应当引导学生学会形式抽象,实际上这是一个高层次的概括过程,在这个过程中,学生的逻辑推理能力可以得到很好的培养。
  
  以下课例较好地反映了上述思想(为了节省篇幅,我们只列出提纲)。
  
  课例 平行线的判定(参考成都20中傅自素老师的教案)
  
  引入
  
  通过展示日常生活中的实例,引入判定两直线平行的课题;通过一定的数学问题,让学生认识到用平行线的定义来判定两直线平行关系的困难性,从而引起探求新的判断两直线平行方法的需求。
  
  平行线判定公理的认知
  
  1.用三线八角活动教具(如图1所示),让直线a绕点A运动,∠1的大小随着改变,请学生观察在什么位置时有a∥b。
  
  2.让学生用已学会的方法,过直线a外一点A画已知直线的平行线,并要求学生思考:画平行线时,“三角板的一边紧贴直尺移动”的过程中,什么量保持不变?
  
  说明:“三线八角”是学生熟悉的几何图形,通过运动变化,使学生感受平行线判定公理实际上是“三线八角”图形的一种特殊位置,从而为学生自己得出判定公理作了铺垫。这里渗透了运动变化、特殊与一般相互转化等数学思想方法。用两块三角板画平行线也是学生熟悉的,由此而让学生思考“移动过程中的不变量”,渗透了观察能力的培养,由此也为学生认识“用角的相等判断直线平行”作了铺垫。有了这样的准备,判定公理的得出就“水到渠成”了。)
  
  3.请学生用自己的语言叙述出上述过程中发现的规律。(提醒学生注意:判断两条直线平行时,用了“转化”思想,即将判断平行问题转化为判断角相等问题)
  
  说明:让学生用自己的语言叙述规律,是一个归纳概括的过程,这对学生获得原理是非常重要的。
  
  4.同时用图形语言、文字语言和符号语言表示“平行线判定公理”。
  
  说明:在几何教学中,“三种语言”结合使用非常重要,特别是要注意“用图形说话”。
  
  5.巩固性练习:
  
  (1)如图2, 如果∠1=150°,∠2=150°,a∥b吗?为什么?
  
  (2)如图3,∠C=30°,当∠ABE= 时,可使BE∥CD。
  
  (3)如图4, 已知∠1=∠2,∠3=∠4。判断下列推理是否正确,并说明理由。
  
  ①如图4,∵∠1=∠2(已知),∴EM∥FG。(同位角相等,两直线平行)
  
  ②如图4,∵∠3=∠4(已知),∴AB∥CD。(同位角相等,两直线平行)
  
  说明:这里的练习编排具有一定的变化性,其思路是对判定公理的条件、结论的置换,还有是背景图形的变化──在一个相对复杂的变式图形中应用判定公理,目的是为了强调“同位角相等”这个条件。
  
  探究平行线的判定定理
  
  1.利用图形、教具,引导学生观察、猜想。
  
  问:观察图形,结合已学过的判定公理和前面学过的有关两角相等的知识,你能否找出判断两条直线平行的新方法?
  
  请大家讨论一下,提出猜想。
  
  说明:这里,教师在猜想的方向上做出了引导,并用语言唤起学生已有认知结构中的相关知识,这样做有利于学生通过适当的归纳推理的出猜想。
  
  2.验证猜想,发现证明思路。
  
  猜想所获得的结论不一定正确,也既猜想的正确性需要通过严格的逻辑论证。为了寻找证明思路,我们可以先考察一些特殊情况。
  
  请同学们画出两条直线,使它们与第三条直线相交所得的内错角为30°。测量一下这两条直线是否平行。再以你自己选定的一个角为内错角画出图形,测量一下它们的位置关系。
  
  结合判定公理,考虑一下它们为什么相等?
  
  不难发现:由公理知,只要证明∠2=∠3,即有AB∥CD,而∠2=∠1=30°(已知),∠1=∠3(对顶角相等),于是∠3=30°(等量代换),∴∠2=∠3,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)。
  
  改变∠2、∠1的大小,保持∠1=∠2的关系不变,让学生观察AB与CD的关系,得出都有AB∥CD。
  
  教师强调:由于不能一一验证,因此应当进行推理来证明一般情况的正确性。
  
  说明:这里,为了使学生获得经验,先用具体例子验证,再通过运动变化将具体推向一般,并引导学生体验对一般情况进行证明的必要性。这样的设计体现了对学生的概括活动从具体到抽象的、循序渐进的引导。
  
  3.证明猜想,获得定理。
  
  教师引导:所谓证明,实际上就是把要证明的问题转化为已经成立的公理或定理。现在我们知道哪些判定两直线平行的方法?(定义、判定公理)
  
  那么,能否把“内错角相等”转化为“同位角相等”?
  
  由上面对具体例子的分析,学生经过一定的思考后不难完成如下证明:
  
  ∵∠1=∠2(已知),
  
  ∠1=∠3(对顶角相等),
  
  ∴∠2=∠3(等量代换)。
  
  ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)。
  
  这样,我们就把“猜想”变成了“定理”,我们将它称为平行线判定定理1。这个定理可简述为“内错角相等,两直线平行”。
  
  4.练习巩固,加深理解(略)。
  
  5.思想方法的总结。
  
  判定定理1的探讨过程是:
  
  猜想──验证──证明──应用
  
  这是探索问题的常用方法。在这个过程中我们可以看到,为了解决新的问题,我们常常将它转化为一个已知的命题来解决。这样,如何实现转化就成为解决问题的关键。另外,“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现”。
  
  6.知识迁移,独立推理。
  
  请同学们用证明判定定理1的方法,自己探索一下“两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行”是否成立。
  
  学生独立思考,练习书写说理过程。
  
  综合应用(略)。
  
  课堂小结
  
  1.请同学们回顾一下我们已经获得的判定两直线平行的方法。
  
  2.探讨过程中用到的思想方法。
  
  上述课例中,教师根据初中一年级学生思维处于从直观形象思维向抽象逻辑思维转折时期的特点,通过活动教具、作图等,引导学生操作、观察,归纳概括而得平行线判定的有关猜想。在此基础上,通过具体例子引导学生体会证明猜想的方法,并由特殊推向一般、从具体引向抽象,获得了判定定理1的证明。这个概括过程,先使学生获得关于推理的一些直接经验,形象直观,有操作、有想象、有分析、有归纳,思维经历了从具体到抽象的过程。在获得定理的证明后,及时概括相应的数学思想方法,使学生的思维得到及时升华。接着,让学生用刚刚获得思想方法去证明其它猜想,从而及时巩固了学到的知识。由于所有判定定理都是学生自己事先猜想出来的,而猜想的证明也是在教师的引导下学生自己独立作出的,因此学生从中体验到了自己也有能力获得数学定理,这对激发学生的学习愿望,形成数学学习的自信心也是非常有好处的。
  
  另外,在教学过程中,教师特别重视了“化归”这一重要的数学思想方法的渗透,充分利用知识之间的相互联系性,通过分析、归纳、概括,将要解决的新问题转化为已经解决的问题,这个过程的实质就是概括。我们相信,通过这样的教学,长期坚持,潜移默化,学生的观察、猜想、分析、归纳、概括以及逻辑论证等能力都会得到很好的培养和提高。
  
  实践表明,通过向学生展示各个平行线定理的直观背景、产生过程及其证明方法的形成过程,学生的思维活动被激活了,通过他们自己主动的思维活动,不但获得了关于定理的猜想,概括出了定理的证明方法,而且还受到了数学思想方法乃至数学观念的训练:从特殊到一般、从简单到综合,即一般化和特殊化思想; (责任编辑:admin)
顶一下
(5)
16%
踩一下
(17)
17%
------分隔线----------------------------
发表评论 共有条评论
用户名: 密码:
验证码: 匿名发表
栏目列表
推荐内容